DIARIO DELLE LEZIONI
Sono riportati gli argomenti trattati in ogni lezione. Le dimostrazioni dei teoremi contrassegnati con * sono facoltative. Gli studenti dovranno comunque conoscere gli enunciati di tali teoremi e saperli usare nella risoluzione degli esercizi.
- 04/03/2019: Somma di vettori in R^n, prodotto di uno scalare per un vettore di R^n. Norma di un vettore di R^n. Prodotto scalare. Angoli fra vettori. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, disuguaglianza triangolare. Quiz sui preliminari del corso (3 ore).
- 06/03/2019: Elementi di insiemistica. Funzioni, iniettività e suriettività. Composizione di funzioni. Il numero di sottoinsiemi di un insieme finito. Relazioni d'equivalenza, la relazione di congruenza modulo n in Z. (2 ore).
- 07/03/2019: Somma e prodotto in Z_n. Gruppi. Esempi di gruppi. Il gruppo moltiplicativo degli elementi non-nulli di Z_p, con p numero primo. Il gruppo simmetrico di ordine n (permutazioni su n oggetti). Definizione di campo, esempi di campi. Campi finiti. Spazi vettoriali. Esempi di spazi vettoriali. Lo spazio vettoriale K^{m,n} delle matrici m x n a elementi in un campo K (3 ore).
- 11/03/2019: Combinazioni lineari. Sistemi di generatori. Esempio di uno spazio vettoriale non finitamente generato. Sistemi di vettori linearmente indipendenti. Basi: esempi e caratterizzazioni. Componenti di un vettore rispetto a una base (3 ore).
- 13/03/2019: Esercizi sulle basi. Il metodo degli scarti e il teorema del completamento. (2 ore).
- 14/03/2019: Dimostrazione del Lemma di Steinitz. Conseguenze: in uno spazio vettoriale di dimensione n, un sistema di n vettori linearmente indipendenti è una base e un sistema di n generatori è una base. Sottospazi vettoriali. Unione e intersezione di sottospazi. Somma di sottospazi. (3 ore).
- 18/03/2019: Esercizi: come determinare somma e intersezione di due sottospazi conoscendone i generatori o le equazioni cartesiane. Dimensione del sottospazio somma: Formula di Grassmann. Somme dirette. Esercizi sulla Formula di Grassmann e Somme dirette. (3 ore).
- 20/03/2019: La trasposta di una matrice. Lo spazio delle matrici quadrate di ordine n è somma diretta del sottospazio delle matrici simmetriche e di quello delle matrici antisimmetriche. Prodotto riga per colonna di due matrici. Inversa di una matrice. Il gruppo lineare generale (2 ore).
- 21/03/2019: Lo spazio delle righe e lo spazio delle colonne di una matrice hanno la stessa dimensione. Il rango di una matrice. Matrici ridotte e metodo di eliminazione di Gauss. Applicazioni: 1) Calcolo della dimensione e determinazione di una base di uno spazio vettoriale dato un sistema di generatori. 2) Determinazione delle equazioni cartesiane di un sottospazio vettoriale. 3) Risoluzione dei sistemi lineari (3 ore).
- 25/03/2019: Sistemi lineari. Forma matriciale di un sistema lineare. Soluzioni. Teorema di Rouché Capelli I (esistenza di soluzioni). Incognite libere. Teorema di Rouché-Capelli II*. Esercizi su rango e sistemi lineari (3 ore).
- 27/03/2019: Sistemi omogenei. Sistemi vettoriali. Una matrice quadrata di ordine n è invertibile se e solo se ha rango n. Esercizi: come calcolare l'inversa di una matrice risolvendo un sistema vettoriale. Introduzione alle applicazioni lineari (2 ore).
- 28/03/2019: Nucleo e Immagine di un'applicazione lineare. Applicazioni lineari iniettive. Isomorfismi. Se V e W sono spazi vettoriali sullo stesso campo e dim(V)=dim(W) allora V e W sono isomorfi. Esercizi: come determinare nucleo e immagine di un'applicazione lineare (3 ore).
- 01/04/2019: Il teorema della dimensione per applicazioni lineari. Un'applicazione lineare è univocamente determinata dalle immagini degli elementi di una base del dominio. Matrice associata a un'applicazione lineare. Lo spazio vettoriale L(V;W) delle applicazioni lineari da V in W. Esercizi su applicazioni lineari e matrici associate (3 ore).
- 03/04/2019: Matrice del cambiamento di base. Matrice associata alla composizione di due applicazioni lineari. Matrice associata all'inversa di un isomorfismo. Introduzione agli endomorfismi (2 ore).
- 08/04/2019: Matrici simili. Due matrici sono simili se e solo se sono associate allo stesso endomorfismo. Esercizi: matrici simili, controimmagine di un vettore, studio di applicazioni lineari. (3 ore).
- 10/04/2019: Determinante: definizione, formula esplicita, proprietà. Calcolo del determinante col metodo di eliminazione di Gauss. Esercizi. (2 ore).
- 11/04/2019: Determinante di un prodotto (Teorema di Binet). Primo e secondo teorema di Laplace*. Uso del determinante per il calcolo dell'inversa di una matrice, per la risoluzione di sistemi lineari di n equazioni in n incognite (Teorema di Cramer) e per la determinazione del rango di una matrice (Teorema di Kronecker o dei minori orlati*) (3 ore).
- 15/04/2019: Autovalori e autovettori di un endomorfismo. Endomorfismi semplici. Indipendenza degli autospazi. Il polinomio caratteristico. Matrici simili hanno lo stesso determinante e lo stesso polinomio caratteristico. Esercizi su endomorfismi (4 ore).
- 17/04/2019: Somma diretta di un numero arbitrario di sottospazi. Primo criterio di semplicità: "Un endomorfismo f su V è semplice se e solo V è somma diretta degli autospazi di f se e solo se la somma delle molteplicità geometriche degli autovalori di f è uguale a dim(V)". Relazione fra molteplicità algebrica e molteplicità geometrica di un autovalore (2 ore).
- 18/04/2019: Secondo criterio di semplicità (un endomorfismo f: V --> V è semplice se 1) la somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori è uguale a dim(V) e 2) La molteplicità algebrica e la molteplicità geometrica di ogni autovalore coincidono). Esercizi su autovalori, endomorfismi semplici, rango e determinanti. Determinanti di matrici diagonali a blocchi (3 ore).
- 06/05/2019: Matrici diagonalizzabili e loro applicazioni (potenze di una matrice diagonalizzabile, formula di Binet per i numeri di Fibonacci, similitudine fra matrici). Esercizi su matrici diagonalizzabili e matrici simili (4 ore).
- 08/05/2019: Esercizi su endomorfismi (2 ore).
- 20/05/2019: Esercizi su endomorfismi, diagonalizzazione di matrici e matrici simili (3 ore).
- 22/05/2019: Geometria in due dimensioni. Sistemi di riferimento. Rette in forma parametrica e cartesiana, intersezioni fra rette, fasci di rette (2 ore).
- 23/05/2019: Geometria in tre dimensioni. Coordinate omogenee. Rette e piani. Mutua posizione di rette e piani. Mutua posizione di due rette nello spazio, rette sghembe. Fasci di piani. Esercizi di geometria nel piano e nello spazio. (3 ore).
- 27/05/2019: Prodotto vettoriale. Piano per tre punti. Applicazioni dei fasci di piani: retta incidente e ortogonale a due rette sghembe. Distanza di un punto da un piano, distanza di un punto da una retta (3 ore).
- 29/05/2019: Distanza di due rette nello spazio. Esercizi (2 ore).
- 30/05/2019: Esercizi di riepilogo di geometria lineare. Generalità sulle coniche. Forma matriciale dell'equazione di una conica. Invarianti ortogonali, significato geometrico del rango*. Forma canonica. Punti impropri, classificazione delle coniche (3 ore).
- 03/06/2019: Traslazioni e rotazioni nel piano. Matrici ortogonali. Teorema spettrale per matrici reali simmetriche*. Dimostrazione del teorema di riduzione a forma canonica. Centro di simmetria e assi di simmetria di ellissi e iperboli. Retta tangente a una conica in un suo punto*. Vertice e asse di simmetria di una parabola. Esercizi: come determinare il cambiamento di coordinate che riduce una conica a forma canonica (3 ore).
- 05/06/2019: Asintoti di un'iperbole. Iperboli equilatere, significato geometrico della traccia. Circonferenze. Fasci di coniche (2 ore).
- 06/06/2019: Coniche per cinque punti. Esercizi: applicazioni dei fasci di coniche. Quadriche: esempi, forma matriciale dell'equazione di una quadrica, invarianti ortogonali. Vertici: coni e cilindri. Significato geometrico del rango della matrice B della quadrica. Sezione di un cono o un cilindro con un piano passante per il vertice. Conica all'infinito di una quadrica, significato geometrico del determinante della matrice A associata ai termini di secondo grado di una quadrica (3 ore).
- 10/06/2019: Sezioni piane di coni e cilindri. Classificazione delle quadriche non degeneri. Piano tangente a una quadrica in un suo punto*. Un piano è tangente a una quadrica se e solo se la conica sezione fra la quadrica e il piano è spezzata. Punti iperbolici, parabolici e ellittici*. Quadriche contenenti una conica fissata. Esercizi sulla classificazione delle quadriche. (3 ore).
- 12/06/2019: Sezioni piane delle quadriche non degeneri. Sfere e circonferenze nello spazio. Esercizi di riepilogo (2 ore).